2011年全国统一高考理科数学试卷（陕西卷）

设 $a,b$是向量，命题"若 $a=-b$，则 $\left|a\right|=\left|b\right|$"的逆命题是

设抛物线的顶点在原点，准线方程为 $x=-2$，则抛物线的方程是（）

设函数 $f\left(x\right)(x\in R)$ 满足 $f(-x)=f\left(x\right),f(x+2)=f\left(x\right)$ ，则 $y=f\left(x\right)$ 的图像可能是

$\left(4^x-2^{-x}\right)\left(x\in R\right)$的展开式中的常数项是（）

某几何体的三视图如图所示，则它的体积是

函数 $f\left(x\right)=\sqrt{x}-\cos x$在 $[0,+\infty )$内（）

设集合 $M=\left\{y|y=\left|{\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x\right|,x\in R\right\}$， $N=\left\{x\right|\left|x-\frac{1}{i}\right|<\sqrt{2},i$为虚数单位, $x\in R\}$，则 $M\cap N$为（）

如图中， $x_1,x_2,x_3$ 为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分， $p$ 为该题的最终得分，当 $x_1=6,x_2=9,p=8.5$ 时 $x_3$ 等于（）

设 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)...,(x_n,y_n)$是变量 $x$和 $y$的 $n$个样本点，直线 $l$是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论中正确的是

甲乙两人一起去"2011西安世园会"，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任意选4个进行浏览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是（）

设 $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}lgx,x>0\\ x+{\int }_0^{a}3t^{2}dx\end{array}\right.,x\le 0$，若 $f\left(f\right(1\left)\right)=1$，则 $a=$.

设 $n\in N^{*}$，一元二次方程 $x^2-4x+n=0$有整数根的充要条件是 $n=$.

观察下列等式
1=1

2+3+4=9

3+4+5+6+7=25

4+5+6+7+8+9+10=49

......

照此规律，第 $n$个等式为

植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为（米）。

若关于 $x$的不等式 $\left|a\right|\ge \left|x+1\right|+\left|x-2\right|$存在实数解，则实数 $a$的取值范围是.

如图 $\angle B=\angle D,AE\perp BC,\angle ACD={90}^{°}$ ,且 $AB=6,AC=4,AD=12$ ,则 $BE=$ .

（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系 $xOy$中，以原点为极点， $x$轴正半轴为极轴建立极坐标系，设点 $A,B$分别在曲线 $C_1:\left\{\begin{array}{l}x=3+\cos \theta \\ y=4+\sin \theta \end{array}\right.\left(\theta \mathrm{为参数}\right)$和曲线 $C_2:p=1$上，则 $\left|AB\right|$的最小值为.

叙述并证明余弦定理

如图，设 $P$ 是圆珠笔 $x^2+y^2=25$ 上的动点，点 $D$ 是 $P$ 在 $x$ 轴上的投影， $M$ 为 $PD$ 上一点，且 $\left|MD\right|=\frac{4}{5}\left|PD\right|$
（Ⅰ）当 $P$ 的在圆上运动时，求点 $M$ 的轨迹 $C$ 的方程；
（Ⅱ）求过点 $(3,0)$ 且斜率为 $\frac{4}{5}$ 的直线被 $C$ 所截线段的长度.

如图，从点 $P_1(0,0)$ 作 $x$ 轴的垂线交曲线 $y=e^x$ 于点 $Q_1(0,1)$ ，曲线在 $Q_1$ 点处的切线与 $x$ 轴交于点 $P_2$ ，再从 $P_2$ 作 $x$  轴的垂线交曲线于点 $Q_2$ ，依次重复上述过程得到一系列点： $P_1，Q_1；P_2，Q_2；\dots ；P_n，Q_n$ ,记 $P_k$ 点的坐标为 $(x_k,0)$ $(k=1,2,\dots ,n）$ .

（Ⅰ）试求 $x_k$ 与 $x_{k-1}$ 的关系（ $2\le k\le n$ ）
（Ⅱ）求 $\left|P_1{Q}_1\right|+\left|P_2{Q}_2\right|+\left|P_3{Q}_3\right|+...+\left|P_n{Q}_n\right|$

如图，A地到火车站共有两条路径 $L_1$和 $L_2$，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：

现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站。
（Ⅰ）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？
（Ⅱ）用 $X$表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（Ⅰ）的选择方案，求 $X$的分布列和数学期望。

设函数 $f\left(x\right)$定义在 $\left(0,+\infty \right)$上， $f\left(1\right)=0$，导函数 $f`\left(x\right)=\frac{1}{x}$, $g\left(x\right)=f\left(x\right)+f`\left(x\right)$.

（Ⅰ）求 $g\left(x\right)$的单调区间和最小值；

（Ⅱ）讨论 $g\left(x\right)$与 $g\left(\frac{1}{x}\right)$的大小关系；

（Ⅲ）是否存在 $x_0>0$，使得 $\left|g\left(x\right)-g\left(x_0\right)\right|<\frac{1}{x}$对任意 $x>0$成立？若存在，求出 $x_0$的取值范围；若不存在请说明理由。