2010年全国统一高考理科数学试卷（湖南卷）

已知集合 $M=\{1,2,3\}$ ， $N=\{2,3,4\}$ ，则（  ）

下列命题中的假命题是

极坐标方程 $\rho =\cos \theta$和参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=-1-t\\ y=2+3t\end{array}\right.$( $t$为参数)所表示的图形分别是（）

在 $Rt△ABC$中， $\angle C=90°$, $AC=4$， $\stackrel{\rightharpoonup }{AB}·\stackrel{\rightharpoonup }{AC}$等于（）

${\int }_2^4\frac{1}{x}dx$等于（）

在 $∆ABC$中，角 $A$， $B$， $C$所对的边长分别为 $a,b,c$，若 $\angle C=120°$， $c=\sqrt{2}a$,则（）

在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为（）

用 $min\{a,b\}$表示 $a,b$两数中的最小值。若函数 $f\left(x\right)=min\{\left|x\right|,\left|x+t\right|\}$的图像关于直线 $x=-\frac{1}{2}$对称，则 $t$的值为

已知一种材料的最佳入量在110 $g$到210 $g$之间。若用0.618法安排实验，则第一次试点的加入量可以是

如图所示，过 $\odot O$ 外一点 $P$ 作一条直线与 $\odot O$ 交于 $A,B$ 两点.已知 $PA=2$ ，点 $P$ 到 $\odot O$ 的切线上 $PT=4$ ，则弦的长为 .

在区间 $\left[-1,2\right]$上随机取一个数 $x$，则 $\left|x\right|\le 1$的概率为

如图是求 $1^2+2^2+3^2+\dots +{100}^2$ 的值的程序框图，则正整数 $n=$ ．

图中的三个直角三角形是一个体积为20 $c{m}^3$ 的几何体的三视图，则 $h=$ $cm$ ．

过抛物线 $x^2=2py(p>0)$的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于 $A,B$两点， $A,B$在 $x$轴上的正射影分别为 $D,C$．若梯形 $ABCD$的面积为 $12\sqrt{2}$，则 $P=$．

若数列 $\left\{a_n\right\}$满足：对任意的 $n\in N^{+}$，只有有限个正整数 $m$使得 $a_m<n$成立，记这样的 $m$的个数为 $(a_n{)}^m$，则得到一个新数列 $\left\{\right(a_n{)}^m\}$．例如，若数列 $\left\{a_n\right\}$是 $1,2,3...,n,...$，则数列 $\left\{\right(a_n{)}^m\}$是 $0,1,2,...,n-1,...$．已知对任意的 $n\in N^{+}$， $a_n=n^2$，则 $(a_5{)}^m=$， $\left(\right(a_n{)}^m{)}^m=$.

已知函数 $f\left(x\right)=\sqrt{3}\sin 2x-2{\sin }^{2}x$．
（1）求函数 $f\left(x\right)$的最大值；
（2）求函数 $f\left(x\right)$的零点的集合

下图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图

（Ⅰ）求直方图中 $x$ 的值
（II）若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求月均用水量在3至4吨的居民数 $x$ 的分布列和数学期望。

如图所示，在正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中, $E$ 是棱 $D{D}_1$ 的中点.

（Ⅰ）求直线 $BE$ 的平面 $AB{B}_1{A}_1$ 所成的角的正弦值；
（II）在棱 $C_1{D}_1$ 上是否存在一点 $F$ ，使 $B_{1}F\parallel$ 平面 $A_{1}BE$ ,证明你的结论.

为了考察冰川的融化状况,一支科考队在某冰川上相距8 $km$ 的 $A,B$ 两点各建一个考察基地.视冰川面为平面形,以过 $A,B$ 两点的直线为 $x$ 轴,线段 $AB$ 的的垂直平分线为 $y$ 轴建立平面直角坐标系在直线 $x=2$ 的右侧,考察范围为到点 $B$ 的距离不超过 $\frac{6\sqrt{5}}{5}km$ 区域;在直线 $x=2$ 的左侧,考察范围为到 $A,B$ 两点的距离之和不超过 $4\sqrt{5}km$ 区域.

（Ⅰ）求考察区域边界曲线的方程；
（Ⅱ）如图所示,设线段 $P_1{P}_2,P_2{P}_3$ 是冰川的部分边界线(不考虑其他边界线),当冰川融化时,边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动,第一年移动0.2 $km$ ,以后每年移动的距离为前一年的2倍,求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间.

已知函数 $f\left(x\right)=x^2+bx+c\left(b,c\in R\right)$,对任意的 $x\in R$，恒有 $f^{`}\left(x\right)\le f\left(x\right)$.
（Ⅰ）证明：当 $x\ge 0$时， $f\left(x\right)\le {\left(x+c\right)}^2$；
（Ⅱ）若对满足题设条件的任意 $b,c$,不等式 $f\left(c\right)-f\left(b\right)\le \mathit{M}\left(c^2-b^2\right)$恒成立，求 $M$的最小值.

数列 $\left\{a_n\right\}(n\in N^{*})$中， $a_1=a$, $a_{n+1}$是函数 $f_n\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{2}(3a_n+n_2)x^2+3n^2{a}_{n}x$的极小值点.

（Ⅰ）当 $a=0$时，求通项 $a_n$；
（Ⅱ）是否存在 $a$，使数列 $\left\{a_n\right\}$是等比数列？若存在，求 $a$的取值范围；若不存在，请说明理由.