2016年全国统一高考理科数学试卷（天津卷）

已知集合 $A=\left\{1，2，3，4\right\}$ ， $B=\left\{y\right|y=3x﹣2，x\in A\}$ ，则 $A\cap B=$ （　　）

设变量 $\mathit{x}$ ， $\mathit{y}$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{c}x-y+2\ge 0\\ 2x+3y-6\ge 0\\ 3x+2y-9\le 0\end{array}\right.$ ，则目标函数 $z=2x+5y$ 的最小值为( )

在 $△\mathit{ABC}$ 中，若 $\mathit{AB}\text{=}\sqrt{13}$ , $\mathit{BC}=3$ ， $\angle C={120}^{\circ }$ ,则 $\mathit{AC}=$ （ ）

阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出 S的值为( )

设 $\left\{an\right\}$ 是首项为正数的等比数列，公比为 $\mathit{q }$ ， 则 $“q<0”$ 是"对任意的正整数 $\mathit{n}$ , $a_{2n-1}+a_{2n}<0$ "的( )

已知双曲线 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{b^2}\text{=}1\mathrm{（}b>0\mathrm{）}$ ，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于 A、 B、 C、 D四点，四边形的 ABCD的面积为2 b ， 则双曲线的方程为( )

已知△ ABC是边长为1的等边三角形，点 D、 E分别是边 AB 、 BC的中点，连接 DE并延长到点 F，使得 $\mathit{DE}=2\mathit{EF }$ ， 则 $\stackrel{\to }{\mathit{AF}·}\stackrel{\to }{\mathit{BC}}$ 的值为( )

函数 $f\mathrm{（}x\mathrm{）}=\left\{\begin{array}{c}{x}^2+(4a-3)x+3a),x<0\\ {\log }_a(x+1)+1,x\ge 0\end{array}\mathrm{（}a>0,\mathrm{且}a\ne 1\mathrm{）}\right.$ 在R上单调递减，且关于 $x$ 的方程 $\mathit{│f}（x）│=2-\mathit{x}$ 恰好有两个不相等的实数解，则 a的取值范围是（ ）

已知 $a,b\in R$ ， i是虚数单位，若 $(1+i)(1-\mathit{bi}）=\mathit{a }$ ， 则 $\frac{a}{b}$ 的值为________.

${(x^2-\frac{1}{x})}^8$ 的展开式中x²的系数为________.(用数字作答)

已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m），则该四棱锥的体积为________ $m^3$ .

如图， AB是圆的直径，弦 CD与 AB相交于点 E， $\mathit{BE}=2\mathit{AE}=2，\mathit{BD}=\mathit{ED }$ ， 则线段 CE的长为________.

已知 $f\left(x\right)$是定义在R上的偶函数，且在区间 $（-\infty ，0）$上单调递增.若实数a满足 $f（2^{\left|a-1\right|}）>f(-\sqrt{2})$ ），则a的取值范围是________.

设抛物线 $\{\begin{array}{c}x=2p{t}^2\\ y=2\mathit{pt}\end{array}$ ，（ $t$为参数， $p＞0$）的焦点为 $\mathit{F}$，准线为l.过抛物线上一点 $A$作 $l$的垂线，垂足为B。设 $C\mathrm{（}\frac{7}{2}p，0）$ ，AF与BC相交于点E。 若 $\left|\mathit{CF}\right|=2\left|\mathit{AF}\right|$，且 $△\mathit{ACE}$的面积为 $3\sqrt{2}$ ，则 $p$的值为________.

已知函数 $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=4\mathrm{tanxsin}(\mathrm{}\frac{\pi }{2}-x)\cos (\mathrm{}x-\frac{\pi }{3})-\mathrm{}\sqrt{3}$ .

（1）求 $f\left(x\right)$的定义域与最小正周期；

（2）讨论f(x)在区间 $[-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4}]$ 上的单调性.

某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,. 现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.

（1）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；

（2）设 $X$ 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望.

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$ 的中心为 $\mathit{O }$，四边形 $\mathit{OBEF}$为矩形，平面 $\mathit{OBEF}\perp$平面 $\mathit{ABCD}$ ， 点 $G$为 $AB$的中点， $\mathit{AB}=\mathit{BE}=2.$

（1）求证： $\mathit{EG}\parallel$ 平面 $\mathit{ADF}$ ；

（2）求二面角 $O-\mathit{EF}-C$ 的正弦值；

（3）设 H为线段 $\mathit{AF}$ 上的点，且 $\mathit{AH}=\frac{2}{3}\mathit{HF}$ ，求直线 $\mathit{BH}$ 和平面 $\mathit{CEF}$ 所成角的正弦值.

已知 $\left\{a_n\right\}$是各项均为整数得等差数列，公差为d，对任意的 $n\in N^{*}$， $b_n$是 $a_n$和 $a_{n+1}$得等比中项。

（1）设 $c_n={b_{n+1}}^2-{b_n}^2$， $n\in N^{*}$，求证：数列 $\left\{c_n\right\}$是等差数列；

（2）设 $a_1=d$， $T_n=\underset{k=1}{\overset{2n}{\sum }}{(-1)}^k{b_k}^2$， $n\in N^{*}$，求证： $\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\frac{1}{Ti}<\frac{1}{{2d}^2}$

设椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{3}1\mathrm{（}\mathrm{a}\mathrm{＞}\mathrm{}\sqrt{3}）$的右焦点为F，右顶点为A，已知 $\frac{1}{\left|\mathit{OF}\right|}+\frac{1}{\left|\mathit{OA}\right|}=\frac{3e}{\left|\mathit{FA}\right|}$ ，其中O为原点，e为椭圆的离心率．

（1）求椭圆的方程；

（2）设过点A的直线l与椭圆交于B（B不在 $x$轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若 $\mathit{BF}\perp \mathit{HF}$，且 $\angle \mathit{MOA}=\angle \mathit{MAO}$，求直线 $l$的斜率．

设函数 $f\left(x\right)={（x-1）}^3-\mathit{ax}-b,x\in R$，其中 $a,b\in R$。

（1）求 $f\left(x\right)$的单调区间；

（2）若 $f\left(x\right)$存在极点 $x_0$， 且 $f\left(x_1\right)=f\left(x_0\right)$，其中 $x_1\ne x_0\mathit{ }$， 求证： $x_1+2_{x0}=3$；

（3）设 $a＞0$,函数 $g\left(x\right)=\mid f\left(x\right)\mid$,求证： $g\left(x\right)$在区间 $[0,2]$上的最大值不小于 $\frac{1}{4}$.