2016年北京市中考数学试卷

如图所示，用量角器度量 $\angle \mathit{AOB}$ ，可以读出 $\angle \mathit{AOB}$ 的度数为 $($ 　　 $)$

神舟十号飞船是我国"神舟"系列飞船之一，每小时飞行约28000公里，将28000用科学记数法表示应为 $($ 　　 $)$

实数 $a$ ， $b$ 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是 $($ 　　 $)$

内角和为 $540°$ 的多边形是 $($ 　　 $)$

如图是某个几何体的三视图，该几何体是 $($ 　　 $)$

如果 $a+b=2$ ，那么代数 $(a-\frac{b^2}{a})·\frac{a}{a-b}$ 的值是 $($ 　　 $)$

甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是 $($ 　　 $)$

在 $1-7$ 月份，某种水果的每斤进价与售价的信息如图所示，则出售该种水果每斤利润最大的月份是 $($ 　　 $)$

如图， 直线 $m\perp n$ ，在某平面直角坐标系中， $x$ 轴 $//m$ ， $y$ 轴 $//n$ ，点 $A$ 的坐标为 $(-4,2)$ ，点 $B$ 的坐标为 $(2,-4)$ ，则坐标原点为 $($ 　　 $)$

为了节约水资源，某市准备按照居民家庭年用水量实行阶梯水价．水价分档递增，计划使第一档、第二档和第三档的水价分别覆盖全市居民家庭的 $80\%$ ， $15\%$ 和 $5\%$ ，为合理确定各档之间的界限，随机抽查了该市5万户居民家庭上一年的年用水量（单位： $m^3)$ ，绘制了统计图．如图所示，下面四个推断合理的是 $($ 　　 $)$

①年用水量不超过 $180m^3$ 的该市居民家庭按第一档水价交费；

②年用水量超过 $240m^3$ 的该市居民家庭按第三档水价交费；

③该市居民家庭年用水量的中位数在 $150-180$ 之间；

④该市居民家庭年用水量的平均数不超过180．

如果分式 $\frac{2}{x-1}$ 有意义，那么 $x$ 的取值范围是 　　．

如图中的四边形均为矩形，根据图形，写出一个正确的等式　　．

林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，下表是这种幼树在移植过程中的一组数据：

估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为 　　．

如图，小军、小珠之间的距离为 $2.7m$ ，他们在同一盏路灯下的影长分别为 $1.8m$ ， $1.5m$ ，已知小军、小珠的身高分别为 $1.8m$ ， $1.5m$ ，则路灯的高为 　　 $m$ ．

百子回归图是由1，2， $3\dots$ ，100无重复排列而成的正方形数表，它是一部数化的澳门简史，如：中央四位"19 99 12 20"标示澳门回归日期，最后一行中间两位"23 50"标示澳门面积， $\dots$ ，同时它也是十阶幻方，其每行10个数之和，每列10个数之和，每条对角线10个数之和均相等，则这个和为 　．

下面是"经过已知直线外一点作这条直线的垂线"的尺规作图过程：

已知：直线 $l$ 和 $l$ 外一点 $P$ ．（如图 $1)$

求作：直线 $l$ 的垂线，使它经过点 $P$ ．

作法：如图2

（1）在直线 $l$ 上任取两点 $A$ ， $B$ ；

（2）分别以点 $A$ ， $B$ 为圆心， $\mathit{AP}$ ， $\mathit{BP}$ 长为半径作弧，两弧相交于点 $Q$ ；

（3）作直线 $\mathit{PQ}$ ．

所以直线 $\mathit{PQ}$ 就是所求的垂线．

请回答：该作图的依据是 　　．

计算： ${(3-\pi )}^0+4\sin 45°-\sqrt{8}+|1-\sqrt{3}|$ ．

解不等式组： $\left\{\begin{array}{c}2x+5>3(x-1)\\ 4x>\frac{x+7}{2}\end{array}\right.$ ．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$ 是平行四边形， $\mathit{AE}$ 平分 $\angle \mathit{BAD}$ ，交 $\mathit{DC}$ 的延长线于点 $E$ ．求证： $\mathit{DA}=\mathit{DE}$ ．

关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2+(2m+1)x+m^2-1=0$ 有两个不相等的实数根．

（1）求 $m$ 的取值范围；

（2）写出一个满足条件的 $m$ 的值，并求此时方程的根．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，过点 $A(-6,0)$ 的直线 $l_1$ 与直线 $l_2:y=2x$ 相交于点 $B(m,4)$ ．

（1）求直线 $l_1$ 的表达式；

（2）过动点 $P(n,0)$ 且垂直于 $x$ 轴的直线与 $l_1$ ， $l_2$ 的交点分别为 $C$ ， $D$ ，当点 $C$ 位于点 $D$ 上方时，写出 $n$ 的取值范围．

调查作业：了解你所在小区家庭5月份用气量情况：

小天、小东和小芸三位同学住在同一小区，该小区共有300户家庭，每户家庭人数在 $2-5$ 之间，这300户家庭的平均人数约为3.4．

小天、小东和小芸各自对该小区家庭5月份用气量情况进行了抽样调查，将收集的数据进行了整理，绘制的统计表分别为表1，表2和表3．

表1 抽样调查小区4户家庭5月份用气量统计表 （单位： $m^3)$

表2 抽样调查小区15户家庭5月份用气量统计表 （单位： $m^3)$

表3 抽样调查小区15户家庭5月份用气量统计表 （单位： $m^3)$

根据以上材料回答问题：

小天、小东和小芸三人中，哪一位同学抽样调查的数据能较好地反映该小区家庭5月份用气量情况，并简要说明其他两位同学抽样调查的不足之处．

如图，在四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\angle \mathit{ABC}=90°$ ， $\mathit{AC}=\mathit{AD}$ ， $M$ ， $N$ 分别为 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{CD}$ 的中点，连接 $\mathit{BM}$ ， $\mathit{MN}$ ， $\mathit{BN}$ ．

（1）求证： $\mathit{BM}=\mathit{MN}$ ；

（2） $\angle \mathit{BAD}=60°$ ， $\mathit{AC}$ 平分 $\angle \mathit{BAD}$ ， $\mathit{AC}=2$ ，求 $\mathit{BN}$ 的长．

阅读下列材料：

北京市正围绕着"政治中心、文化中心、国际交往中心、科技创新中心"的定位，深入实施"人文北京、科技北京、绿色北京"的发展战略．"十二五"期间，北京市文化创意产业展现了良好的发展基础和巨大的发展潜力，已经成为首都经济增长的支柱产业．

2011年，北京市文化创意产业实现增加值1938.6亿元，占地区生产总值的 $12.1\%$ ．2012年，北京市文化创意产业继续呈现平稳发展态势，实现产业增加值2189.2亿元，占地区生产总值的 $12.3\%$ ，是第三产业中仅次于金融业、批发和零售业的第三大支柱产业．2013年，北京市文化产业实现增加值2406.7亿元，比上年增长 $9.1\%$ ，文化创意产业作为北京市支柱产业已经排到了第二位．2014年，北京市文化创意产业实现增加值2794.3亿元，占地区生产总值的 $13.1\%$ ，创历史新高，2015年，北京市文化创意产业发展总体平稳，实现产业增加值3072.3亿元，占地区生产总值的 $13.4\%$ ．

根据以上材料解答下列问题：

（1）用折线图将 $2011-2015$ 年北京市文化创意产业实现增加值表示出来，并在图中标明相应数据；

（2）根据绘制的折线图中提供的信息，预估2016年北京市文化创意产业实现增加值约　 　   ，亿元，你的预估理由 　　．

如图， $\mathit{AB}$ 为 $\odot O$ 的直径， $F$ 为弦 $\mathit{AC}$ 的中点，连接 $\mathit{OF}$ 并延长交 $\stackrel{̂}{\mathit{AC}}$ 于点 $D$ ，过点 $D$ 作 $\odot O$ 的切线，交 $\mathit{BA}$ 的延长线于点 $E$ ．

（1）求证： $\mathit{AC}//\mathit{DE}$ ；

（2）连接 $\mathit{CD}$ ，若 $\mathit{OA}=\mathit{AE}=a$ ，写出求四边形 $\mathit{ACDE}$ 面积的思路．

已知 $y$ 是 $x$ 的函数，自变量 $x$ 的取值范围 $x>0$ ，下表是 $y$ 与 $x$ 的几组对应值：

小腾根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的 $y$ 与 $x$ 之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行了探究．

下面是小腾的探究过程，请补充完整：

（1）如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，描出了以上表格中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；

（2）根据画出的函数图象，写出：

① $x=4$ 对应的函数值 $y$ 约为 　 　；

②该函数的一条性质： 　　．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，抛物线 $y=m{x}^2-2\mathit{mx}+m-1(m>0)$ 与 $x$ 轴的交点为 $A$ ， $B$ ．

（1）求抛物线的顶点坐标；

（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．

①当 $m=1$ 时，求线段 $\mathit{AB}$ 上整点的个数；

②若抛物线在点 $A$ ， $B$ 之间的部分与线段 $\mathit{AB}$ 所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求 $m$ 的取值范围．

在等边 $\mathit{\Delta ABC}$ 中，

（1）如图1， $P$ ， $Q$ 是 $\mathit{BC}$ 边上的两点， $\mathit{AP}=\mathit{AQ}$ ， $\angle \mathit{BAP}=20°$ ，求 $\angle \mathit{AQB}$ 的度数；

（2）点 $P$ ， $Q$ 是 $\mathit{BC}$ 边上的两个动点（不与点 $B$ ， $C$ 重合），点 $P$ 在点 $Q$ 的左侧，且 $\mathit{AP}=\mathit{AQ}$ ，点 $Q$ 关于直线 $\mathit{AC}$ 的对称点为 $M$ ，连接 $\mathit{AM}$ ， $\mathit{PM}$ ．

①依题意将图2补全；

②小茹通过观察、实验提出猜想：在点 $P$ ， $Q$ 运动的过程中，始终有 $\mathit{PA}=\mathit{PM}$ ，小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：

想法1：要证明 $\mathit{PA}=\mathit{PM}$ ，只需证 $\mathit{\Delta APM}$ 是等边三角形；

想法2：在 $\mathit{BA}$ 上取一点 $N$ ，使得 $\mathit{BN}=\mathit{BP}$ ，要证明 $\mathit{PA}=\mathit{PM}$ ，只需证 $\mathit{\Delta ANP}\cong \mathit{\Delta PCM}$ ；

想法3：将线段 $\mathit{BP}$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $60°$ ，得到线段 $\mathit{BK}$ ，要证 $\mathit{PA}=\mathit{PM}$ ，只需证 $\mathit{PA}=\mathit{CK}$ ， $\mathit{PM}=\mathit{CK}\dots$

请你参考上面的想法，帮助小茹证明 $\mathit{PA}=\mathit{PM}$ （一种方法即可）．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，点 $P$ 的坐标为 $(x_1$ ， $y_1)$ ，点 $Q$ 的坐标为 $(x_2$ ， $y_2)$ ，且 $x_1\ne x_2$ ， $y_1\ne y_2$ ，若 $P$ ， $Q$ 为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点 $P$ ， $Q$ 的"相关矩形"，如图为点 $P$ ， $Q$ 的"相关矩形"示意图．

（1）已知点 $A$ 的坐标为 $(1,0)$ ，

①若点 $B$ 的坐标为 $(3,1)$ ，求点 $A$ ， $B$ 的"相关矩形"的面积；

②点 $C$ 在直线 $x=3$ 上，若点 $A$ ， $C$ 的"相关矩形"为正方形，求直线 $\mathit{AC}$ 的表达式；

（2） $\odot O$ 的半径为 $\sqrt{2}$ ，点 $M$ 的坐标为 $(m,3)$ ，若在 $\odot O$ 上存在一点 $N$ ，使得点 $M$ ， $N$ 的"相关矩形"为正方形，求 $m$ 的取值范围．