吉林省吉林市高三第三次模拟考试理科数学试卷

设全集，集合，集合，则图中阴影部分所表示的集合是（  ）

A．

B．

C．

D．

已知i为虚数单位，则（  ）

A．

B．

C．

D．

已知是第四象限角，且，则（  ）

A．

B．

C．

D．

已知实数满足，则目标函数的最大值为（  ）

已知随机变量ξ服从正态分布N(1，σ²)，若P(ξ>3)＝0.023，则P(－1≤ξ≤3)等于（  ）

等于（  ）

A．

B．

C．

D．

现有三个函数：①，②，③的图象（部分）如下：

则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（  ）

已知执行如下左图所示的程序框图，输出的，则判断框内的条件是（  ）

A．

B．

C．

D．

一个几何体的三视图如上右图，则其表面积为（  ）

A．

B．

C．

D．

边长为4的正方形ABCD的中心为O，以O为圆心，1为半径作圆，点M是圆O上的任意一点，
点N是边AB、BC、CD上的任意一点（含端点），则的取值范围是（  ）
A．  B．  C．  D．

已知边长为1的等边三角形与正方形有一公共边，二面角的余弦
值为，若A、B、C、D、E在同一球面上，则此球的体积为（  ）
A．    B．   C．   D．

若存在直线l与曲线和曲线都相切,则称曲线和曲线为“相关曲线”，有下列四个命
题：
①有且只有两条直线l使得曲线和曲线为“相关曲线”；
②曲线和曲线是“相关曲线”；
③当时，曲线和曲线一定不是“相关曲线”；
④必存在正数使得曲线和曲线为“相关曲线”.
其中正确命题的个数为（  ）

从5名志愿者中选出4人，分别参加两项公益活动，每项活动2人，则不同安排方案的种数
为           .（用数字作答）

设是公比不为1的等比数列，其前n项和为，若成等差数列，则
           .

把函数的图象上各点向右平移个单位，得到函数
的图象，则的最小值为              .

已知直线与抛物线交于A，B两点，点P为直线l上一动点，M，N是抛物线C上两个动点，若，， 则△PMN的面积的最大值为           .

（本小题满分12分）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，设S为△ABC的面积，满足.
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若，设，，求函数的解析式和最大值.

（本小题满分12分）某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体
1000名学生中随机抽取了若干名学生的体检表，并得到如下直方图：

（Ⅰ）若直方图中前三组的频率成等比数列，后四组的频率成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的
人数；
（Ⅱ）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有
关系，对年级名次在1~50名和951~1000名的学生进行了调查，得到如下数据：

 
根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系?
（Ⅲ）在（Ⅱ）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良
好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1~50名的学生人数为，求的分布列和数学期
望.
附：

（本小题满分12分）如图，在多面体ABCDEF中，正方形与梯形所在平面互相
垂直，已知，，.

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成的角的正弦值.

（本小题满分12分）已知椭圆的左、右焦点分别为、
，过的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且△的周长为.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点作与直线l平行的直线m，且直线m与抛物线交于P、Q两点，若A、P在x轴
上方，直线PA与直线QB相交于x轴上一点M，求直线l的方程.

（本小题满分12分）设函数.
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）如果对所有的≥0，都有≤，求的最小值；
（Ⅲ）已知数列中，，且，若数列的前n项和为，求证：
.

（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，在△ABC中，，以为直径的⊙O交于，过点作⊙O的切线交于，
交⊙O于点．

（Ⅰ）证明：是的中点；
（Ⅱ）证明：.

（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在极坐标系中曲线的极坐标方程为，点. 以极点O为原点，以极轴为x
轴正半轴建立直角坐标系．斜率为的直线l过点M，且与曲线C交于A，B两点.
（Ⅰ）求出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；
（Ⅱ）求点M到A，B两点的距离之积.

（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数，，.
（Ⅰ）当时，若对任意恒成立，求实数b的取值范围；
（Ⅱ）当时，求函数的最小值.