2015年全国统一高考文科数学试卷（湖北卷）

$i$为虚数单位，$i^{507}=$（）

我国古代数学名著《九章算术》有"米谷粒分"题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）

命题" $\exists x_0\in (0,+\infty ),\ln x_0\ne x_0-1$"的否定是（  ）

已知变量$x$和$y$满足关系$y=-0.1x+1$，变量$y$与$z$正相关． 下列结论中正确的是（）

$l_1,l_2$表示空间中的两条直线，若p：$l_1,l_2$是异面直线；q：$l_1,l_2$不相交，则

函数$f\left(x\right)=\sqrt{4-\left|x\right|}+lg\frac{x^2-5x+6}{x-3}$的定义域为（）

设$x\in R$，定义符号函数$sgn\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}1,x>0,\\ 0,x=0,\\ -1,x<0,\end{array}\\ \end{array}\right.$ 则（）

在区间 $[0,1]$上随机取两个数 $x,y$，记 $p_1$为事件" $x+y\le \frac{1}{2}$"的概率， $p_2$为事件" $xy\le \frac{1}{2}$"的概率，则（  ）

将离心率为$e_1$的双曲线$C_1$的实半轴长$a$和虚半轴长$b(a\ne b)$同时增加$m(m>0)$个单位 
长度，得到离心率为$e_2$的双曲线$C_2$，则（）

已知集合$A=\left\{\right(x,y)/x^2+y^2\le 1,x,y\in Z\}$，$B=\left\{\right(x,y)/\left|x\right|\le 2,\left|y\right|\le 2,x,y\in Z\}$，定义集合$A\oplus B=\left\{\right(x_1+x_2,y_1{+}_2)/(x_1,y_1)\in A,(x_2,y_2)\in B\}$，则$A\oplus B$中元素的个数为

已知向量$\stackrel{\rightharpoonup }{OA}\perp \stackrel{\rightharpoonup }{AB},\left|\stackrel{\rightharpoonup }{OA}\right|=3$，则$\stackrel{\rightharpoonup }{OA}\stackrel{\rightharpoonup }{\times OB}=$．

若变量 $x,y$满足约束条件 $\left\{\begin{array}{c}x+y\le 4\\ x-y\le 2\\ 3x-y\ge 0\end{array}\right.$,则 $3x+y$的最大值是．

函数 $f\left(x\right)=2\sin x\sin (x+\frac{\pi }{2})-x^2$的零点个数为．

某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间 $[0.3,0.9]$ 内，其频率分布直方图如图所示．

（Ⅰ）直方图中的 $a=$ ；
（Ⅱ）在这些购物者中，消费金额在区间 $[0.5,0.9]$ 内的购物者的人数为．

如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 $A$ 处时测得公路北侧一山顶 $D$ 在西偏北 ${30}^{°}$ 的方向上，行驶 $600m$ 后到达 $B$ 处，测得此山顶在西偏北 ${75}^{°}$ 的方向上，仰角为 ${30}^{°}$ ，则此山的高度 $CD=$ .

如图，已知圆 $C$ 与 $x$ 轴相切于点 $T(1,0)$ ，与 $y$ 轴正半轴交于两点 $A,B$ （ $B$ 在 $A$ 的上方），且 $\left|AB\right|=2$ ．

（Ⅰ）圆 $C$ 的标准方程为；
（Ⅱ）圆 $C$ 在点 $B$ 处的切线在 $x$ 轴上的截距为．

$a$为实数，函数$f\left(x\right)=\left|x^2-ax\right|$在区间$\left[0,1\right]$上的最大值记为$g\left(a\right)$.当$a=$时，$g\left(a\right)$的值最小．

某同学用"五点法"画函数 $f\left(x\right)=A\sin (\omega x+\phi )(\omega >0,\left|\phi \right|<\frac{\pi }{2})$ 在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数 $f\left(x\right)$ 的解析式；
（Ⅱ）将 $y=f\left(x\right)$ 图象上所有点向左平行移动 $\frac{\pi }{6}$ 个单位长度，得到 $y=g\left(x\right)$ 图象，求 $y=g\left(x\right)$ 的图象离原点 $O$ 最近的对称中心．

设等差数列 $\left\{a_n\right\}$的公差为 $d$,前 $n$项和为 $S_n$,等比数列 $\left\{b_n\right\}$的公比为 $q$.已知 $b_1=a_1,b_2=2,q=d,S_{10}=100$．
（Ⅰ）求数列 $\left\{a_n\right\}$, $\left\{b_n\right\}$的通项公式；
（Ⅱ）当 $d>1$时,记 $c_n=\frac{a_n}{b_n}$,求数列 $\left\{c_n\right\}$的前 $n$项和 $T_n$．

《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑． 在如图所示的阳马 $P-ABCD$ 中，侧棱 $PD\perp$ 底面 $ABCD$ ，且 $PD=CD$ ，点 $E$ 是 $PC$ 的中点，连接 $DE,BD,BE$ ．

（Ⅰ）证明： $DE\perp$ 平面 $PBC$ ． 试判断四面体 $EBCD$ 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；
（Ⅱ）记阳马 $P-ABCD$ 的体积为 $V_1$ ，四面体 $EBCD$ 的体积为 $V_2$ ，求 $\frac{V_1}{V_2}$ $ABCD$ 的值．

设函数$f\left(x\right),g\left(x\right)$的定义域均为$R$,且$f\left(x\right)$是奇函数,$g\left(x\right)$是偶函数,$f\left(x\right)+g\left(x\right)=e^x$,其中$e$为自然对数的底数．
（Ⅰ）求$f\left(x\right),g\left(x\right)$的解析式，并证明：当$x>0$时,$f\left(x\right)>0,g\left(x\right)>1$；
（Ⅱ）设$a\le 0,b\ge 1$,证明：当$x>0$时,$ag\left(x\right)+\left(1-a\right)<\frac{f\left(x\right)}{x}<bg\left(x\right)+\left(1-b\right)$．

一种画椭圆的工具如图①所示． $O$ 是滑槽 $AB$ 的中点，短杆 $ON$ 可绕 $O$ 转动，长杆 $MN$ 通过 $N$ 处铰链与 $ON$ 连接， $MN$ 上的栓子 $D$ 可沿滑槽 $AB$ 滑动，且 $DN=ON=1$ ， $MN=3$ ．当栓子 $D$ 在滑槽 $AB$ 内作往复运动时，带动 $N$ 绕 $O$ 转动， $M$ 处的笔尖画出的椭圆记为 $C$ ．以 $O$ 为原点， $AB$ 所在的直线为 $x$ 轴建立如图②所示的平面直角坐标系．

（Ⅰ）求椭圆 $C$ 的方程；
（Ⅱ）设动直线 $l$ 与两定直线 $l_1:x-2y=0$ 和 $l_2:x+2y=0$ 分别交于 $P,Q$ 两点．若直线 $l$ 总与椭圆 $C$ 有且只有一个公共点，试探究： $△OPQ$ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．