上海市青浦区高三上学期期终学习质量调研数学试卷

若复数（为虚数单位），则的值为_____________.

设是等差数列的前项和，若，则            .

展开式中有理项的个数是             .

直线的倾斜角              .

已知函数与，它们的图像有一个横坐标为的交点，则的值是            ．

平面截半径为的球所得的截面圆的面积为，则球心到平面的距离为____ .

函数的反函数为，如果函数的图像过点，那么函数的图像一定过点             .

已知函数对任意的满足，且当时，．若有4个零点，则实数的取值范围是            ．

抛物线的动弦的长为，则弦中点到轴的最短距离是         .

若甲乙两人从门课程中各选修门，则甲乙所选的课程中恰有门相同的选法有              种.

已知，则无穷数列前项和的极限为             .

已知正实数满足，则的最小值为             ．

设函数在上有定义，对于任意给定正数，定义函数，
则称函数为的“孪生函数”，若给定函数，，则=              .

当和取遍所有实数时，恒成立，则的最小值为              .

已知，则向量与向量的夹角为（    ）.

A．

B．

C．

D．

设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下面四个命题中错误的是（    ）.

A．若，则//

B．若，则

C．若，则//或

D．若 //，则

设为正实数，则“”是“”成立的（   ）．

设函数，函数，则方程实数根的个数是（    ）.

A．个

B．个

C．个

D．个

(本题满分12分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题6分.
如图所示，在长方体中，，，，为棱上一点.

(1)若，求异面直线和所成角的正切值；
（2）若，求证平面.

(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题8分，第（2）小题6分.
如图，摩天轮上一点在时刻距离地面高度满足，，已知某摩天轮的半径为米，点距地面的高度为米，摩天轮做匀速转动，每分钟转一圈，点的起始位置在摩天轮的最低点处．

（1）根据条件写出（米）关于（分钟）的解析式；
（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点距离地面超过米?

(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.
如图所示的“8”字形曲线是由两个关于轴对称的半圆和一个双曲线的一部分组成的图形，其中上半个圆所在圆方程是，双曲线的左、右顶点、是该圆与轴的交点，双曲线与半圆相交于与轴平行的直径的两端点．

（1）试求双曲线的标准方程；
（2）记双曲线的左、右焦点为、，试在“8”字形曲线上求点，使得是直角.

(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题8分.
已知数列是公差不为的等差数列，数列是等比数列，且，，数列的前项和为，记点．
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：点在同一直线上，并求出直线方程；
（3）若对恒成立，求的最小值．

(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题6分，第（2）小题6分，第（3）小题6分.
已知函数.

（1）指出的基本性质（结论不要求证明）并作出函数的图像；
（2）关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）关于的方程（）恰有6个不同的实数解，求的取值范围.